Perlitas Matemáticas

noviembre 21, 2014

Nuevas Pruebas de Viejos Teoremas

Filed under: Teoría de Números — by Pablo @ 2:13 am

En ocasiones, los matemáticos descubrimos nuevas pruebas (o demostraciones) de teoremas muy antiguos. Puede ocurrir que estas pruebas sean más simples que la prueba original, o pueden aportar ideas nuevas que permiten generalizaciones, o adaptar la prueba a otros problemas.

Uno de los teorema más antiguos es el de Euclides sobre la infinitud de los números primos (que data aproximadamente hacia el año 300 antes de Cristo, y que se estudia en  nuestros actuales cursos de Algebra Si quieren ver como Euclides escribió originalmente la prueba, pueden vela aquí.

Actualmente se conocen varías pruebas de este teorema. Puede verse algunas de ellas en el artículo de wikipedia sobre el teorema de Euclides La más notable y fructífera de ellas de ellas es, sin duda, la prueba de Euler. De hecho, Euler demostró un poco más: la serie de los recíprocos de los primos diverge. Su prueba  conduce al producto de Euler para la función zeta de Riemann, que a su vez fue la clave para la prueba del teorema sobre la distribución de los números primos. (a partir de las ideas introducidas por Riemann en su célebre trabajo). También su idea fue la base de la demostración por Dirichlet de la infinitud de los primos en las progresiones aritméticas.

Otras pruebas notables incluyen la prueba de Chaitin usando ideas de la teoría algorítmica de la información, y la prueba topológica de Furstenbeg.

Podría pensarse entonces que ya no hay nada para decir sobre estos teorema.  ¡Pero no! Mi colega y amigo Juan Pablo Pinasco  encontró nuevas pruebas de los teoremas de Euclides y Euler  (versión en su página personal del artículo publicado en American Mathematical Monthly, 116 en 2009). Y ¡estoy en los agradecimientos de paper!

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