¿Puede probarse una desigualdad tirando una moneda?

La matemática es sin duda una experiencia estética. Uno de los momentos culminantes en esta experiencia, que seguramente habrán experimentado muchas veces al estudiar matemática, es cuando una conexión profunda e inesperada entre dos ramas de la matemática que aparentemente parecen distantes, se hace aparente.

Aunque llevo ya muchos años dedicándome profesionalmente a la matemática, esta experiencia no deja de sorprenderme. Por ejemplo, cuando leí el el paper de William Beckner,  Inequalities in Fourier analysis (Annals of Mathematics 102 (1975), pag. 159-182), experimenté esa sensación.

En este notable trabajo, el autor emplea el teorema central del límite (resultado clave de la teoría de probabilidades) para demostrar versiones fuertes (sharp, esto es: con la constante óptima) de dos desigualdades clásicas del análisis armónico: la desigualdad de Hausdorff-Young para la transformada de Fourier y la desigualdad de Young para la convolución.

(La forma fuerte de la desigualdad de Hausdorff-Young fue obtenida previamente en algunos casos articulares por K. Babenko, en 1961, utilizando métodos de la teoría de funciones de variable compleja).

Para probar la desigualdad de Hausdorff-Young, Beckner utiliza un
interesante argumento (que se basa en establecer primero la equivalencia de dicha desigualdad con otra (conocida como la propiedad hipercontractiva del semigrupo de Hermite). A continuación, muestra utilizando el teorema central del límite, que el problema de probar esta desigualdad puede reducirse a probar una desigualdad análoga en un espacio de probabilidad de tan sólo dos puntos (¡los resultados posibles en un ensayo de Bernoulli!, como al tirar una moneda).

Aunque la conexión entre el análisis de Fourier y el teorema central del límite es bien conocida (la transformada de Fourier interviene decisivamente en la prueba estándar de este teorema), lo que es sorprendente en este paper es la utilización de métodos probabilísticos para probar una desigualdad que a primera vista nada tiene que ver con la teoría de probabilidades. (Cabe mencionar sin embargo, que Beckner utiliza realmente el caso particular del teorema central del límite para ensayos de Bernoulli ( teorema de de Moivre-Laplace ) que puede demostrarse sin acudir a las técnicas del análisis armónico.